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PPT 06 · Continuidad espacial y variograma experimental

Fuente

Resumen propio de la presentación PPT 06 del curso ICMI222 (semana 8). Lectura: Alfaro (2007), cap. III; Isaaks & Srivastava (1989), caps. 7 y 12.

Materia de la Solemne 2

Según la PPT 07, la Solemne 2 cubre variogramas experimentales y modelamiento.

La idea en una frase

Dos muestras cercanas se parecen; a medida que se alejan, dejan de parecerse. El variograma mide eso con números. Sin variograma no hay kriging, no hay simulación ni varianza de estimación.

Definición

Teórica: la mitad del valor esperado del cuadrado de la diferencia entre dos puntos separados por \(h\):

\[ \gamma(h) = \frac{1}{2}\, E\!\left[\big(Z(x+h) - Z(x)\big)^2\right] \]

Experimental (la que se calcula): promedio sobre los \(N(h)\) pares separados por \(h\):

\[ \hat\gamma(h) = \frac{1}{2N(h)} \sum_{i=1}^{N(h)} \big[z(x_i + h) - z(x_i)\big]^2 \]

Se eleva al cuadrado para que las diferencias positivas y negativas no se cancelen.

Propiedades: \(\gamma(0) = 0\), nunca es negativo y es simétrico, \(\gamma(h) = \gamma(-h)\).

Ejemplo a mano

Ocho muestras cada 5 m a lo largo de un sondaje (% Cu):

Posición (m) 0 5 10 15 20 25 30 35
Ley 0,5 0,7 0,6 0,9 1,1 0,8 0,4 0,6

h = 5 m → 7 pares. Diferencias: 0,2 · −0,1 · 0,3 · 0,2 · −0,3 · −0,4 · 0,2. Cuadrados: 0,04 + 0,01 + 0,09 + 0,04 + 0,09 + 0,16 + 0,04 = 0,47.

\[ \hat\gamma(5) = \frac{0{,}47}{2 \cdot 7} = 0{,}034 \]

h = 10 m → 6 pares, suma de cuadrados 0,84 → \(\hat\gamma(10) = 0{,}84 / 12 = 0{,}070\).

h = 15 m → 5 pares, suma 0,86 → \(\hat\gamma(15) = 0{,}086\).

El variograma crece con la distancia, como se esperaba. Fíjate en que la varianza de los datos es 0,045 y \(\hat\gamma(15)\) ya la supera con solo 5 pares: con tan pocos pares el valor es ruidoso y no debería interpretarse (regla de los 30 pares, más abajo).

Lo que se lee en un variograma

flowchart LR
    P[Efecto pepita C0<br>salto en el origen] --> A[Alcance a<br>distancia donde se aplana]
    A --> M[Meseta C0 + C<br>≈ varianza de los datos]

Efecto pepita (\(C_0\))

El salto del variograma junto al origen: variabilidad que existe incluso a distancia casi cero. En teoría \(\gamma(0) = 0\), pero el experimental no parte de cero. Causas:

  1. Estructuras más pequeñas que el espaciamiento de los datos (vetillas, pepitas de oro).
  2. Errores de muestreo, preparación y análisis → se conecta con el QA/QC.

Un efecto pepita alto respecto de la meseta anticipa estimaciones poco precisas y mucho suavizamiento. Compositar lo reduce.

Alcance (\(a\))

Distancia desde la cual el variograma se estabiliza. Más allá, dos muestras son prácticamente independientes. Es la zona de influencia de una muestra y define el radio de búsqueda de la estimación.

Meseta (\(C_0 + C\))

Valor donde se estabiliza el variograma. Es aproximadamente la varianza de los datos: sirve para comprobar que el cálculo tiene sentido.

La forma cerca del origen

Mientras más erráticas son las leyes a lo largo del sondaje, más bruscamente sube el variograma junto al origen. Leyes que cambian suave → subida gradual.

Cómo se eligen los pares con datos irregulares

Con datos reales casi nunca hay pares exactamente a la distancia \(h\): se define un cono de búsqueda.

Parámetro Qué es Valor típico
Paso (lag) Distancia base entre clases Cercano al espaciamiento medio; múltiplo del largo de compósito
Tolerancia del paso Cuánto puede variar la distancia del par La mitad del paso
Dirección Azimut e inclinación del variograma Según la geología
Tolerancia angular Apertura del cono 15° a 30°
Ancho de banda Limita cuánto se abre el cono a gran distancia Según la geometría del dominio

Más tolerancia → curvas más suaves pero mezcla de direcciones. Menos tolerancia → curvas más fieles pero ruidosas.

Reglas prácticas

  • Calcular por dominio y con compósitos.
  • Cada punto con al menos 30 pares; con menos, no se interpreta.
  • No graficar más allá de la mitad de la dimensión del campo.
  • Calcular siempre el variograma a lo largo del sondaje: es la dirección mejor muestreada y la que mejor define el efecto pepita.
  • Probar varias direcciones antes de concluir que el depósito es isótropo.
  • Leer el variograma junto con el número de pares de cada punto.

Anisotropía

Casi ningún depósito se comporta igual en todas las direcciones.

Tipo Qué cambia Interpretación
Geométrica El alcance, con la misma meseta La más frecuente; define un elipsoide de continuidad
Zonal También la meseta Suele indicar estratificación

El elipsoide es el que después orienta la búsqueda de muestras en el kriging. La dirección de mayor continuidad debe coincidir con la geología; si no, revisa el dominio.

Comportamiento a grandes distancias

  • Variograma con máximos y mínimos (efecto agujero) → alternancia de zonas ricas y pobres.
  • Variograma que crece sin detenerse → deriva (tendencia); revisar el dominio.

Errores frecuentes

  • Un solo variograma para todo el depósito, mezclando dominios.
  • Interpretar puntos con muy pocos pares.
  • Usar un paso mucho menor que el espaciamiento: puro ruido.
  • Tomar un efecto pepita alto como error de cálculo, cuando muchas veces es un problema de muestreo.
  • Concluir anisotropía con una sola dirección mal muestreada.
  • Leer un variograma que crece sin parar como "continuidad infinita" en vez de deriva.

Preguntas de repaso

¿Por qué el variograma se divide por 2N(h) y no por N(h)?

Por la definición: \(\gamma\) es la mitad del promedio de las diferencias al cuadrado (por eso se llama semivariograma). Así, cuando las muestras son independientes, la meseta coincide con la varianza.

La meseta de tu variograma es el doble de la varianza de los datos. ¿Qué revisas?

Que el cálculo no mezcle dominios, que haya deriva (variograma que sigue subiendo) o que los puntos lejanos tengan muy pocos pares. La meseta debería parecerse a la varianza de los compósitos usados.

¿Qué te dice un efecto pepita igual al 70 % de la meseta?

Que la variable es muy errática a escala corta o que el muestreo tiene mucho error. Se esperan estimaciones con mucho suavizamiento y poca precisión. Antes de modelar conviene revisar el QA/QC y los compósitos.

¿Por qué se calcula primero el variograma a lo largo del sondaje?

Porque es la dirección con más pares a distancias cortas (las muestras son consecutivas), y por eso es la que mejor define el efecto pepita.